数Ⅲ方式ガロアの理論（その２３） - 『数Ⅲ方式ガロアの理論』のガイドブック

　現在２０１９年１２月６日１４時０４分である。

麻友「ガロア連投」

私「昨日は、時間の面白い話を書いていて、ガロアが余り進まなかった。今日は、もうちょっと進めよう」

結弦「でもさあ、まったく何言ってるか分からない話に付き合わされる身にもなってよ」

私「今日は、もうちょっと、解説してあげよう」

麻友「じゃあ、テキストのｐ．１１　ｌ．９　から」

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　 ${\Pi (a)}$ と ${\psi}$ とを、 ${x}$ に関する， ${\Pi (x,a)}$ と ${\psi x}$ との周期と呼ぶ事にすると

${\Pi (a) =\sum \psi \times \varphi a}$

が導かれる．

　このように，第三種の関数の周期は，いつも，第一種の関数と第二種の関数とで表わされる．

　ルジャンドルの定理

$E'F''-E''F'=\frac{\pi}{2} \sqrt{-1}$

と類比の定理も導ける．

　第三種の関数を定積分に帰着させるという，ヤコビ氏の最も素晴らしい発見は，楕円関数の場合を除いては、実現できない．

　積分関数と整数との乗法は，加法の場合のように， ${n}$ 次方程式──項を簡約するために，積分に代入する値を根として持つ方程式──によって実行される．

　周期を ${p}$ 個の等しい部分に分ける方程式は ${p^{2n} -1}$ 次だ．その群は，全部で ${(p^{2n} -1)(p^{2n}-p) \cdots (p^{2n}-p^{2n-1})}$ 個の順列をを持つ．

　 ${n}$ 個の項の和を ${p}$ 個の等しい部分に分ける方程式は、 ${p^{2n}}$ 次だ．それは累乗根で解ける．

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麻友「とりあえず、ここまで。新しく、ヤコビという人が、出てきたのよね。ちょっと調べたら、アーベルのライヴァルだったのね」

私「その通りだ。１９世紀の初め、ガウスは楕円関数のアイディアを持っていたが、未完成だと思い、発表しなかった。アーベルは、楕円関数についての発見をしていたが、発表しようかどうしようか、迷っていた。そんなとき、ヤコビが、楕円関数についての論文を、発表。アーベルは、慌てて、それまでに得られていた結果を、論文として発表する。だが、アーベルの業績は、なかなか日の目を見ない。結局、故郷ノルウェーで、婚約者に看取られながら、労咳に倒れる。このときになって、あのガウスまでが、『アーベル氏の肖像画のようなものがあったら、手に入らないだろうか？』とまで言って、残念がったというのだから、皮肉なものである」

若菜「お父さん。なんで、そんなことまで、知ってるんですか？」

私「高木貞治の『近世数学史談』で、読んだんだよ」

高木貞治『近世数学史談』（岩波文庫）