『数Ⅲ方式ガロアの理論』のガイドブック

矢ヶ部巌『数Ⅲ方式ガロアの理論』(現代数学社)のガイドブックを作ることを目指します。ブログの先頭に戻るには、表題のロゴをクリックして下さい。

数Ⅲ方式ガロアの理論(その27)

 現在2019年12月10日6時23分である。

麻友「随分、早い時間ね」

私「昨日、ちゃんと21時に、眠り薬飲んで、寝たから、比較的気分よく、起きられた」

麻友「太郎さん。この調子で、どんどんガロア進めない? もしガイドブックが3年後に完成したら、それは、太郎さんの勲章よ」

私「言うは易く行うは難し、だけど、しばらく頑張ってみよう」

若菜「お父さん。お母さんは、きっと3年後まで、待っていてくれますよ」

結弦「『ホーキング&エリス』のリベンジだな」

私「じゃあ、始めて」

麻友「テキスト p.16 l.7 から」



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 29番44号は妙に細い通りの中程にある.古い家だ.格子戸を開けると,叔父さんが待っている.



      目標


広田 ガロア理論の発端は3次方程式・4次方程式の解法だ.そこで,今日は,3次方程式の解法を調べよう.高校では教わらないだろう.

佐々木 出て来たよ.

広田 本当か.

佐々木 数Ⅰで.たとえば,3次方程式

{x^3+2x^2-5x-6=0}

 定数項 {-6} の因数を,片っぱしから,左辺の {x} に代入する.{1} はダメだが,{-1} を代入すると {0} になるから,左辺は {x+1} を因数にもつ.


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結弦「ちょっと、ストップ。因数って、何? 素因数分解のこと?」

麻友「これ、調べたのよ。まず、整数の因数は、その整数の約数と、思って良い。ただし、ここでは、自然数ではなく、マイナスもあり得る整数を考えているから、{-6} の因数は、{-6,-3,-2,-1,1,2,3,6}{8} 個」

若菜「整数でない場合は?」

麻友「整式の場合、例えば、{x^2+5x+6=(x+2)(x+3)} の場合、{x+2}{x+3} が、因数なのよ」

私「良く勉強してきたね」

麻友「高校の最初に習ったのを、なんとなく覚えていたの。これにも、ちょっとだけ、出てる」

AKB48中学数学 (AKB48学習参考書)

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私「そうだね。実際この計算を、やってみた?」

麻友「この計算って?」

私「佐々木が、{1} はダメだが,{-1} を代入すると {0} になる、と言ってる計算。本当に、{1} でダメなのかどうか、確かめた?」

麻友「本に書いてあること、信じちゃ駄目なの?」

私「麻友さんは、麻友さんの数学を築くんだよ。他の人が正しいと言ったから、では、自分の数学ではない」

麻友「太郎さん、そこまでやってるの? ちょっと、ノート見せてよ」


 私のノート22ページ

 読者注

{f(x)=x^3+2x^2-5x-6} とおく.

{f(1)=1+2-5-6=-8} ダメ

{f(-1)=-1+2+5-6=0} OK


 {x+1} を因数に持つことは因数定理から.


 定理(因数定理)

 整式 {f(x)} が、{f(\alpha)=0} ならば、{x-\alpha} を因数に持つ.

 証明

 {f(x)}{x-\alpha} で割ったときの商を {Q(x)} 、余りを {R} とする.

 {f(x)=(x-\alpha)Q(x)+R}

 {x=\alpha} を代入し、

{0=f(\alpha)=(\alpha -\alpha)Q(\alpha)+R=R}

より、{R=0}

これより、{f(x)=(x-\alpha)Q(x)}

よって {x-\alpha} を因数に持つ。


 証明終わり


 注終わり


 ノート終わり

麻友「因数定理って、あったわね。でも、ここで、証明付きで書けるなんて、半端でない」

若菜「{\alpha=-1} の場合なんですね。だから、{x-\alpha=x-(-1)=x+1} が、因数になる」

結弦「こりゃー、高校レヴェルの数学を、勉強しておかないと、置いて行かれるな」

麻友「じゃあ、少し先」


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 ほかの因数を見つけるために {x+1} で割る.割るといっても,多項式の割算なんてチャチな事はしない.高三だから組立除法を使う:



   1   2  -5  -6   -1

      -1  -1   6
________________
   1   1  -6   0


から,商は {x^2+x-6=0} で,問題の方程式は

{(x+1)(x-2)(x+3)=0}

因数分解される.だから

{x=-1,x=2,x=-3}

と求まる.

 チャンと習ってるよ.



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麻友「前回も話したけど、組立除法というものが、分からないのよ」

私「組立除法(くみたてじょほう)は、京都から戻ってきて、私の頭が壊れてしまったことを、実感した出来事のひとつだった」

麻友「相対性理論のブログで、『相対論への招待(その13)』と『相対論への招待(その14)』という投稿で、書いていたことね」

私「弟の数Ⅰの参考書では、具体的な例を見せながら、組立除法を、納得させるようになっていた。私は、整式の割り算や、赤ペンの記入などは、できないので、ノートをスキャンした。

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麻友「実際に、今回の場合で、やってみてよ」

私「{x^3+2x^2-5x-6} を、{x+1} で割るのだから、{x-\alpha} なら、右上に、{\alpha} を書くのだから、プラスマイナス逆になって、{x+1} なら、{-1} を右上に書く。係数を並べて、


   1   2  -5  -6   -1


________________

となる。ここから、まず、先頭の1を、下に下ろす。


   1   2  -5  -6   -1


________________
   1


次に、1と、右上の-1をかけて、-1を2の下に書く。



   1   2  -5  -6   -1

      -1
________________
   1


次は、2と-1を足し算して、1を下に書く



   1   2  -5  -6   -1

      -1
________________
   1   1

次に1と右上の-1をかけて、-1を-5の下に、書く。



   1   2  -5  -6   -1

      -1  -1
________________
   1   1

それから、-5と-1を足して-6を、下に書く。


   1   2  -5  -6   -1

      -1  -1
________________
   1   1  -6


次に-6と右上の-1をかけて、6を-6の下に書く。



   1   2  -5  -6   -1

      -1  -1   6
________________
   1   1  -6

最後に、-6と6を足して、0を下に書く。



   1   2  -5  -6   -1

      -1  -1   6
________________
   1   1  -6   0

 今回は、{x^3+2x^2-5x-6} が、{x+1} で割り切れたから、最後が0だが、割り算の余りがあれば、0のところに現れる。割り算の商は、 1 1 -6 より、{x^2+x-6} と、求まる。佐々木の計算と、合ってるね。この説明で、分かってもらえたかな? とにかく、1回は、手を動かさないと、分かるものも分からないよ」

若菜「お父さん、本当にお母さんのこと好きなんですねえ。手取り足取り説明してたもの。家庭教師でも、ここまで丁寧にしてくれませんよ」

結弦「というより、この組立除法という技が、この本の中で、何度も使われるから、絶対理解しておいて欲しかったんじゃないかな」

麻友「結弦、いい勘してる。あり得るわね。どうなの太郎さん」

私「実は、こんな整数じゃない、分数係数の整式の組立除法をこの本は、要求する。だから、超高校レヴェルの、組立除法をやるんだ。ただ、やり方は、全く同じなので、今マスターしておけば、苦労しない」


麻友「第29章まであるのに、第2章の出だしで、この難しさ。恐ろしいわね」

結弦「だからこそ、冒険だ」

若菜「最近、『ウソをつかない数学』というゲームの企画書が、進んでませんが」

私「最近の、ほとんど、アニメ『アナと雪の女王』のレヴェルの、リアルさの映像のゲームを知って、これを上回る数学のゲームなんて、どうやったら作れるんだろうってね。ある意味、萎縮しちゃったんだ」

麻友「太郎さん。いいことがあるわ。どうせ、世界中で楽しまれるゲームなんて、2,3年で、作れるわけないわ。だったら、このガロアの連載、本当に、書き続けなさいよ。太郎さんが、高校生でも楽しめる、数学の冒険をしているのが、少しずつ広まって、みんなの耳に入れば、『これを、ゲームにしましょう』という人も、きっと現れるわよ」

結弦「そうだよね。そうすれば、お父さんは、本当に、数学を冒険にした人になる」


私「じゃあ、ひとつ面白い話があるんだ」

若菜「なんですか?」

私「この本って、『少し進んだかなあ、と思っていると、『じゃあ、もう一度、2次方程式に戻って復習しよう』というのが、何回もあって、なかなかガロアが出てこない』と書いていた数学者がいて、私もその通りだと思う」

若菜「何回くらいあるんですか?」

結弦「もしかして、10回くらい?」

麻友「辛抱強い太郎さんが言ってるのよ。そんなもんじゃ、ないんでしょう。20回以上でしょう」

私「それを、4人で数えながら、読んで行こうよ。25回くらい、『反省しよう』『戻って考えよう』『これは、出て来たな』などと、どこまで戻って良いのか困る場面が、あるんだ」

若菜「それを、お父さんは、高校2年で、少なくとも、第18章まで、理解した」

私「でも、大学へ行って、嫌でも群論を勉強しなければならなくて、勉強したお陰で、この本の後半は、もうほとんど、分かっている」

麻友「太郎さんが、大学へ行けというのは、そういう強制的にでも勉強させられたことが、後で、役だったからなのね」

私「私の場合、解析力学(かいせきりきがく)などというものは、大学に入って半年くらい経つまで、存在すら知らないものだった。解析力学を知っただけでも、大学の理学部へ行って良かった」

若菜「お父さん、中退しても、残念に思ってないんですね」

私「望んでいた以上のものを、もらったからね」

結弦「僕たちも、この本から、望んでいた以上のものを、受け取ろう」

私「じゃあ、今日は、解散」



麻友「太郎さん。太郎さんも言っていたように、微分積分に関しては、もの凄くたくさんの本がある。一方で、ブルバキは、量が多すぎる。『現代論理学』は、レビューなどを見ていると、同じ傾向の本が他にもありそう。『細胞の分子生物学』は、太郎さんの専門外。普通の人だったら、1冊片付けるのに、2年あれば十分。でも、太郎さんは、カメさんだから、3年あげるわ。2022年のクリスマスまでに、ガロアのガイドブック作って」

私「ガイドブック作っても、お金は、入ってこないよ」

麻友「私、結弦が、『ワインバーグは?』って、言ったの何かなと思って、後で調べたの


ランダウ=リフシッツ理論物理学教程を学ぶ人のために


ワインバーグ 場の量子論を学ぶ人のために


 こういうページが、あるのね。しかも、言葉を追っていくと、この人、プロの物理学者じゃないみたいね。ページは、無料で閲覧できるから、ボランティアよね。

 私、太郎さんに、お金を稼ぐことを、要求できないんだと、分かったわ。太郎さんより数段上の仕事をしていながら、お金をもらっていない人が、いるのですものね」

私「やっと、分かってくれたか。科学というのは、お金目当てでは、できない世界なんだよ。今のエンターテインメントの世界は、どれだけお金を儲けるかで、良い悪いが、評価されがちだから、麻友さんに理解できなかったとしても、無理ないけどね」

麻友「太郎さんの『数Ⅲ方式ガロアの理論』のガイドブックが、完成したら、何か、ご褒美をあげるわ」

私「期待しているよ。じゃあ、今日は、バイバイ」

麻友「バイバイ」

 現在2019年12月10日13時34分である。おしまい。

数Ⅲ方式ガロアの理論(その26)

 現在2019年12月9日20時24分である。

麻友「太郎さんは、在学中、カリフォルニア工科大学から、声がかかるようなことは、なかったの?」

私「ああ、ドラマ『決してマネしないでください』、今、見たよ。なぜ、あれが、カリフォルニア工科大学だったか、分かるかい?」

麻友「えっ、逆襲? なぜって・・・」

私「簡単なんだよ。掛田君は、物理学の研究者だったよね。アインシュタインニュートンほどではないが、ファインマンは、有名な物理学者だった。ファインマンは、マサチューセッツ工科大学(MIT)を卒業後、プリンストン大学で、博士号をもらい、コーネル大学で教えた後、カリフォルニア工科大学に移って、死ぬまでそこで教えていたんだ。『ファインマン物理学』の元の講義は、カリフォルニア工科大学(通称キャルテク)で、当時珍しいカセットテープに録音しながら、行われたんだ。ファインマンのいたところだから、今回、選ばれたというのが、通常の見方だろう」

麻友「なるほど、太郎さんにかぶれて、私も、ファインマンって、ちゃっかり知ってる」

私「あのドラマ、忘れてたけど、土曜日の深夜、ちゃんとブルーレイレコーダーが、録画してくれてた」

麻友「太郎さん、あの振られる回を観た後にしては、全然しょげてない」

私「だって、あれは、所詮、いちドラマ。麻友さんと私の恋の行方には、ほとんど、関係ない」

麻友「ほとんど、ということは、ちょっとは、関係ある?」

私「私達の若い頃は、ドラマ『東京ラブストーリー』が、恋愛の教科書みたいな役割を果たしていて、その後も、月9ドラマが、恋愛の見本を作っていた。今度のは、土よるドラだけど、麻友さんと私に、私達が今のこの会話をしている時点で、影響を及ぼしている」

麻友「太郎さん。私が、何を言いたいか、分からないかしら?」

私「麻友さんは、多分、『私の事なんて、きっぱり捨てて、ジョン・フォーブス・ナッシュ・ジュニアのように、プリンストンへでも行って、アーベル賞でも、ノーベル賞でも、なんでも、名誉回復の業績を挙げなさいよ』と、言いたいのだろう」

麻友「分かってる」

私「だけど、それは、できないんだ。私は、今、自分の頭が、冴えに冴えているときと、働いていないときが、分かるんだ。それによると、業績と言うほどのものは、生み出せない。今の頭では」

麻友「そんな太郎さん、魅力薄ー」

私「今できるのは、ガロアだけだ」


麻友「じゃあ、いよいよ数学の第2章ね。p.16 から」



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 第2章 3次方程式を斬る


 ガロア理論の起源は3次方程式・4次方程式の解法にある.

 そこで,まず,3次方程式の「すべて」を考察する.そこでは,2次方程式の解法が決め手となる.


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麻友「太郎さん、眠そうね。今日は、ここまでに、しましょうか?」

私「助かるよ」

麻友「じゃあ、おやすみ」

私「おやすみ」

 現在2019年12月9日21時35分である。おしまい。

数Ⅲ方式ガロアの理論(その25)

 現在2019年12月8日14時14分である。

麻友「やっと、本気になった」

私「読むに堪えないほど難しい本の、ガイドブックを作るというのは、十分意味のあることだ。3年で、やってみせよう」

若菜「お父さん、かっこいい」

結弦「さて、どこまで続きますか」

麻友「じゃあ、第1章の最後、始めるわよ。テキストp.14 l.8 から」



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佐々木 5次方程式は?

広田 それが問題だ.なかなか判らなかったが,とうとう19世紀になって,ルフィニという人と、アーベルとが解決した.5次以上の方程式には,こんな公式はない──というのだ.

佐々木 面白いね.

広田 一般的な公式はないが,具体的に係数を与えると,四則と累乗根とで表される場合がある.そこで,係数の間の四則と累乗根とを使って,根が表されるための必要十分条件を求めたのが,この第一論文なのだ.

 方程式を離れて,これを別の角度から見直したのが,デデキントという,これまた偉い数学者で──それが,現在,「ガロア理論」と呼ばれている数学の始まりだ.

 デデキントの「ガロア理論」の入り口までなら,シロウトながら,叔父さんも知っている.

佐々木 ホント.じゃ教えてくれよ.さっきから,知りたくてムズムズしてたんだ.

広田 今すぐ,というワケには行くものか,時間を掛けて,ユックリと話してあげよう.

佐々木 そんなにムズカシイのかい.アマチュアの叔父さんにも判るというのに.

広田 マトモにぶっつかるのでは,確かに難しい.しかし,叔父さんが勉強した方法でやれば,時間は掛かり,遠まわりだが、ヤサシイ.

佐々木 どんな風に勉強するの?

広田 歴史的に,一つずつ段階を追ってゆく.

佐々木 叔父さんお得意の方法だね.

広田 これだと,複素数と2次方程式と順列の知識とから出発できる.

佐々木 それじゃ,数Ⅰと数Ⅱで十分だね.数Ⅲ方式という訳だね.僕にも,できそうだね.

広田 無論,できる.この方法だと,一つの理論が出来上がるまでに,人類がどのように苦労したかという,過程までが理解される.生きた数学が味わえる.

佐々木 是非,話してくれよ.

広田 質問しながら,与次郎にも考えて貰いながら,話をしよう.

佐々木 なんだか,一人では心細いな.数学の好きな友達を連れて来てもいいかい.

広田 何という友達だい.

佐々木 小川三四郎

広田 三四郎でも四五郎でも,何人でも連れてこい.友,遠方ヨリ来タル,マタ,楽シカラズヤ──だ.

佐々木 遠方ヨリ,叔母さんが呼んでるよ.

広田 ホイキタ,また片付けものを始めるか.



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麻友「途中で、上手く切れなかったので、最後まで、進めちゃった」

若菜「『小川三四郎』って、・・・」

麻友「そう。

広田 萇(ひろた ちょう)先生

佐々木 与次郎(ささき よじろう)君

小川 三四郎(おがわ さんしろう)君


は、どれも、夏目漱石の小説『三四郎』の、登場人物。ただ、元の小説だと学生ふたりは、東京大学の学生となっている。彼等が、高校生だったとき、という空想の物語ね」

三四郎

三四郎

結弦「なんか、時間をかけて、ゆっくりやっていくから、高校3年生なら、大丈夫と、言ってるけど」

私「この、甘い言葉に引っ掛かって、私は、高校2年生のとき、2回通読しているが、5次方程式の代数的解法が不可能であることの、ルフィニによる証明までしか、理解できなかった」

麻友「太郎さんに取って、数学で、群というものを、認めるには、アーベル群という言葉の起源になっている、アーベル方程式というものを理解しなければ、ならないのよ。しかも、この本で」

若菜「どうして、そこまで、拘るのですか?」

私「それは、私が、いっとき、教育者を目指していたからでもある。ガロア理論の易しい本もあることはあるけれど、高校生の目線で書かれたものは、少ない」

結弦「あくまで、高校生の目線に、拘るのは、お父さんにとって、高校卒業レヴェルというのが、普通の人の数学のレヴェルと、思ってるからじゃないの? でも、普通の人、高校入学して、複素数が出てきた段階で、数学を、見限ってるんじゃないかな」

私「色々な見方はできるけど、『ウソをつかない数学』というゲームを作るには、この愛読書ナンバー3を、読破しておいた方が良いと思う」


若菜「ところで、デデキントという数学者によって、現在、ガロア理論と呼ばれるものができた、とありますが、この本のガロア理論は、現在のガロア理論ではないのですか?」

私「ガロアのアイディアが、できていく過程を、この本は、克明に追っている。だが、現在のガロア理論は、数ページで、扱っているに過ぎない。そうなのだが、この本を読んでいくと、大量の計算を、強いられる。それは、無駄なことのようだが、手計算でやれば、計算力が付き、計算機で計算すれば、コンピューターによる計算の力が付く。特に、大学1回生で習う、行列式の定義に現れる、置換(ちかん)というものに、慣れるには、最適の本だ」

若菜「お父さんが、数学が恋人って、いうの、なんか、分かってきました。生きた数学を、味わったからですね」

結弦「ところで、『友,遠方ヨリ来タル,マタ,楽シカラズヤ』というのは、漢文の訓読み?」

私「そう。孔子論語の中の言葉だ。今の時代、これだけ書けば、誰でもググれるね」

結弦「第2章以下は、どうなることやら」



麻友「ちょっと、読んだけど、組立除法というもの、知らないのよ。教えてね」

私「それは、大学から中退して帰ってきた後、自分で証明できなくなっていて、弟の参考書の説明を書き写したから、大丈夫だよ」

麻友「良かった。でも、太郎さん、そんなことまで、あったのね」

私「まあ、ほとんど、リセットされたようなものだったから」

若菜「その、リセットされた数学を、築き直した」

私「私の数学は、そういうものだ。じゃあ、解散」



麻友「今日は、開戦記念日。ガロア理論へ、本格的に、宣戦布告した日ね」

私「こういう風に、この本でゼミをやるのが、夢だったんだ」

麻友「どうして、今まで、やらなかったの?」

私「実は、この本で、一番難しいのは、第8章なんだ。ここを落城させるのに、30年以上かかった」

麻友「私達には、丁寧に説明してよ」

私「もちろん。ところで、AKB48の、二本柱の会。今年も、振り込むよ」

麻友「ありがとう。感謝してるわ」

私「じゃあ、バイバイ」

麻友「バイバイ」

 現在2019年12月8日17時09分である。おしまい。