『数Ⅲ方式ガロアの理論』のガイドブック

矢ヶ部巌『数Ⅲ方式ガロアの理論』(現代数学社)のガイドブックを作ることを目指します。ブログの先頭に戻るには、表題のロゴをクリックして下さい。

数Ⅲ方式ガロアの理論(その36)

 現在2021年4月16日19時56分である。(この投稿は、ほぼ3373文字)

麻友「これは、どういうこと? 私の誕生日までに、何らかのものを作ると、言いながら、何もできなかったじゃない」

私「新型コロナウイルスが、収まるかのように見えて、分子生物学を、切り捨てられるかと思ったのも束の間、緊急事態宣言が、発令され、ポートへ行かれなくなった。家にいる日が多くなって、ガロアのブログを沢山書けるかと思いきや、家にいるとだれてくるので、マックへ行く日が多くなり、今度は、ハンバーガーばかり食べていたために、血液検査で、中性脂肪が多いと、出てしまった」

麻友「悪いことばっかり?」

私「良いことも、あった。半年くらい前から、冷たい水や、缶コーヒーを、飲むと、ちょっとしみる歯があったんだ。それが最近、頭痛を伴うほどになってたんだ」

麻友「渡邊歯科に、行った話ね」

私「そう。漢字もバッチリ」

若菜「お母さんの方は、渡邉さんなんですね。今、気付きました」

結弦「2042年の世界では、難しい漢字は、QRコードみたいにして、スキャンするんだ。だから、自分の名前でも、難しい漢字と、易しい漢字のある人は、易しい方しか書けなかったりする」

私「若菜も、結弦も、麻友も、太郎も、全部、常用漢字だ。麻友さんの麻と、結弦の弦だけが、中学までで習う漢字だけど、それ以外は、全部、小学校で習う。分かり易い名前の家族だよなあ」

麻友「それで、歯はどうなったの?」

私「最初は、あまり気楽に、歯医者に来ないように、痛くされたのかも知れないけど、3回目くらいから、以前と同じように、痛いという感触を忘れるほどになった」

若菜「そう言っているという事は、まだ通院中?」

私「そう」

結弦「じゃあ、まだ分からないな。でも、痛くなくなったということは、お父さんに取っては、治ってきてるんだろうね」


私「それで、色々ブログの方も、お膳立てして、ガロア分子生物学を、同時進行できるように、持って来たんだよ」

麻友「努力は買う。でも、3カ月は、長い」

私「怒らないで、ここで、始めてよ」

麻友「分かった。じゃあ、若菜、結弦も、いいわね」

若菜・結弦「はい」

麻友「テキスト22ページの真ん中から」


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             連立方程式への変形


小川 {3} 次方程式

{y^3+py+q=0}

の三根を {\alpha,\beta,\gamma} とすると

{\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle
\alpha + \beta + \gamma=0\\
\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =p\\
\alpha \beta \gamma =-q
\end{array}
\right.
}

ですね.

佐々木 これを {\alpha,\beta,\gamma}連立方程式と考えて解くといいわけだ.連立方程式を解く定跡どおりに,つぎつぎと未知数を消去していく.第一式から

{\gamma=-(\alpha+\beta),}

これを,あとの二つの式に代入すると

{\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle
\alpha \beta -(\alpha+\beta)^2=p\\
ー\alpha \beta (\alpha+\beta)=ーq
\end{array}
\right.
}

つまり

{\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle
\alpha^2+\alpha \beta+\beta^2=-p\\
\alpha^2 \beta +\alpha \beta^2=q
\end{array}
\right.
}

と,まず {\gamma} が消去される.


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私「ちょっと、ストップ」

結弦「えっ、お父さんが?」

若菜「まだ、結果も出てませんけど」

私「若菜は、4月から高校2年生だったな。結弦は、中学3年生だな」

若菜・結弦「はい。そうですけど」

結弦「中学3年生だと、どうなるの?」

私「私が、中学2年生か3年生の頃、2次方程式の解き方を習ったのだから、次は、3次方程式を解きたい。それで、百科事典(本当に紙の33巻くらいの平凡社の)で、3次方程式と調べたのだが、1の3乗根とか使って、解法が書いてあって、解き方が分からない。多分、この後すぐ、若菜も、結弦も、これ本当に解き方なのかなと、思うだろう」

若菜「それで、お父さんは、先生に、聞いた?」

麻友「太郎さんの、自慢話なのよ。太郎さんは、先生には聞かずに、多分、自力で解こうとしたのよ。この後、挑戦していた佐々木君が、失敗するの。太郎さんは、『私も、同じ失敗をしたんだ』と、格好つけたいのよ」

結弦「じゃあ、お母さんも、計算していって、失敗したの?」

麻友「私は、本をなぞっただけ。でも、ここは、太郎さんに、質問しまくりたいわ」


私「お互い、作戦タイムを、取ったわけか。今日は、ここまでで、終わりにしようと思うのだが、実は私以外にも、この本を読み込んでいる人が、何人かいて、こんなページを、持っていたりする」

www.ne.jp

若菜「どんな方なんですか?」

私「このページのツリーを元まで辿ると、このページである」

www.ne.jp

私「ここから、読んだ本の記録ー>410数学ー>ガロア理論ー>数III方式ガロアの理論 と、辿れる」

麻友「えっ、数学だけじゃなくて、もの凄く、幅広いわね」

私「そうなんだ」

若菜「とても、かなわないですね。それで、この人を、取り上げたのは?」

私「このまりんきょさん。本名 丸山 智(まるやま さとし)さんが、矢ヶ部巌さんは、将棋がお好きなのではないかと、書かれているんだ。2つ挙げた上の方のリンクで、ガロア理論の全29章が終わった後、


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広田先生は将棋が好きなので、いろいろなことを将棋になぞらえる。 きっと著者の矢ケ部氏も将棋が好きなのだろう。それがわかるところがある。 22 ページ、下から9ページに「定跡」ということばが出てくる。うまくいく方法、という意味だが、 将棋の場合にのみこの字を当てる。 普通は「定石」を使う。こちらは囲碁の場合に使い、また一般の用法に転用されてもいる。


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       (まりんきょ学問所の中の『矢ヶ部 巌:数Ⅲ方式 ガロアの理論』のページより)


と、記述している。確かに ATOK に入っている辞書でも、電子辞書でも、将棋や囲碁を離れて昔からの経験で良い方法を、じょうせきと言うときは、『定石』と言うらしい。それを、方程式を解くときの定跡というのは、将棋がお好きなのだろうと、思えて当然だね」

麻友「この本を、大事に読んでいる人が、何人もいる。しかも、この人のページには、各章の面白い伏線や、言葉の遊びが、取り込まれているわね。今後吸収させてもらいなさいよ」

私「そのつもりだ」

結弦「今日は、もう、22時48分だ。寝るべきだよ」

若菜「お父さんも、盛り上げようと、頑張ってるのね。軌道に乗せなきゃね」

麻友「じゃあ、おやすみ」

若菜・結弦「おやすみなさーい」

私「おやすみ」

 現在2021年4月16日22時51分である。おしまい。

数Ⅲ方式ガロアの理論(その35)

 現在2021年1月7日19時19分である。(この投稿は、ほぼ5144文字)

私「2日間、申し訳なかった。再開する」

麻友「いいかしら?」

若菜「大丈夫です」

結弦「僕も」

麻友「じゃあ、テキスト21ページ下から5行目」


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広田 この問題とは逆に,{2} 次方程式

{x^2-5x+6=0}

は、根と係数との関係から,すぐに解けるだろう.

佐々木 和が {5},積が {6} となる二つの数,{2}{3} だ.

広田 それは,連立方程式

{\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle
u+v=5\\
uv=6
\end{array}
\right.
}

を解く事だ.

小川 そうか.初めの {2} 次方程式を解く事は

{\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle
u+v=-\frac{b}{a}\\
\displaystyle
uv=\frac{c}{a}
\end{array}
\right.
}

という連立方程式を解く事に帰着されるのですね.

広田 この連立方程式が最初の {2} 次方程式よりも簡単に解ける場合──たとえば,見ただけで解ける時──だけしか有効ではないのだがね.

佐々木 このアイデア{3} 次方程式に応用するんだね.


             連立方程式への変形


小川 {3} 次方程式

{y^3+py+q=0}

の三根を {\alpha,\beta,\gamma} とすると

{\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle
\alpha + \beta + \gamma=0\\
\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =p\\
\alpha \beta \gamma =-q
\end{array}
\right.
}

ですね.



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結弦「ストップ、ストップ。なんで、小川君、高校3年生なのに、{3} 次方程式の根と係数の関係なんて、知ってるの?」

麻友「私も、いきなり {3} 次?って、思ったんだけど、{3} 次方程式の解き方自体は、高校で教えないけど、根と係数の関係(もしくは、解と係数の関係)だけは、高校数学Ⅱ・Bで、教えているみたいなの」

若菜「私は、2042年7月に、14歳で、過去の2018年から来た、お父さんとお母さんに、2018年の世界へ連れてきてもらった。だから、2018年に、中学2年生で、14歳だった。混乱を減らすために、誕生日は仮に6月30日とし、2021年1月7日の今日には、16歳になっていて、高校1年生。今年4月から、高校2年生です。7月にはこの世界で、3年過ごしたことに、なります」

結弦「僕は、2030年生まれで、2042年7月に、12歳だった。2年半経ったから、14歳で、中学2年生の生徒」

私「お前たちも、成長しているんだなあ」

麻友「子供の成長は、速いわね」

若菜「お父さん。この世界を、『数学は冒険』という世界にするんだ、と、言ってましたよね。ちゃんと、高校で、どんな風に、数学が教えられているか、チェックしとかなきゃ、駄目ですよ」

結弦「 {3} 次方程式の根と係数の関係だって、ネットでちょっとググれば、出て来ちゃう世の中なんだけど、{3} 次方程式

{y^3+py+q=0}

{3} 根を、{\alpha,\beta,\gamma} として、・・・」

若菜「 {\gamma} というのは?」

結弦「ギリシャ文字の、ガンマ の、小文字ね」

結弦「そうすると、方程式は、

{(y-\alpha )(y-\beta )(y-\gamma )=0}

と、因数分解されるはずだから、これを展開すると、

{y^3-(\alpha+\beta+\gamma ) y^2+(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )y-\alpha \beta \gamma =0}

となる」

若菜「それが、早すぎね」

結弦「まず、{y^3} は、いいでしょ。次に、{y^2} の係数は、{\alpha} と、{y} を、{2} 個掛けたもの、{\beta} と、{y} を、{2} 個掛けたもの、{\gamma} と、{y} を、{2} 個掛けたもの、の{3} つだから、{(\alpha+\beta+\gamma ) y^2} となって、{1} 個ずつマイナスが、あるから、{-(\alpha+\beta+\gamma ) y^2} となる。ここまでを書くと、

{y^3-(\alpha+\beta+\gamma ) y^2}

さらに、{y} の係数は、{\alpha} と、{\beta} とを掛けて、{y} を、掛けたもの、{\beta}{\gamma} と、{y} を掛けたもの、{\gamma} と、{\alpha} と、{y} を掛けたものになる。{\alpha} と、{\gamma} と、言わず、{\gamma} と、{\alpha} と、並べるのは、数学での美的センスで、係数がグルグル回っているときは、それにしたがった方が、綺麗だし間違いにくいからだ。それで、結局、

{(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )y}

まで来て、

{y^3-(\alpha+\beta+\gamma ) y^2+(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )y}

となって、最後は、定数項が、{(-\alpha )(-\beta )( -\gamma)=-\alpha \beta \gamma} と、なるのは、分かるね。これで、{3} 次方程式の根と係数の関係を、証明した」

若菜「意地の悪い質問だけど、係数比較できたのは?」

結弦「あっ、そうか。でもー、あっそう。お父さんがやったように、まず、{y=0} として、定数項を比較して、次に、{y=1} として、更に、{y=2} としたりして、包囲網を狭めて行けばいいんじゃない?」

私「やってみせると、

{x^3+ax^2+bx+c\\
=x^3-(\alpha+\beta+\gamma ) x^2+(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )x-\alpha \beta \gamma =0}

で、{x=0} として、{c=-\alpha \beta \gamma}

{x=1} として、{1+a+b+c=1-(\alpha+\beta+\gamma ) +(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )+c =0}

 {c} を両辺から消去して、

{1+a+b=1-(\alpha+\beta+\gamma ) +(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha ) } (式1)


{x^3+ax^2+bx+c\\

=x^3-(\alpha+\beta+\gamma ) x^2+(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )x-\alpha \beta \gamma =0}

で、{x=-1} として、

{-1+a-b+c\\

=-1-(\alpha+\beta+\gamma ) -(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )-\alpha \beta \gamma =0}

{c=-\alpha \beta \gamma} であったから、{-1} と共に消し、

{a-b=-(\alpha+\beta+\gamma ) -(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha ) } (式2)

(式1)より、

{1+a+b=1-(\alpha+\beta+\gamma ) +(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha ) }

であり、両辺から、{1} を引き算して、

{a+b=-(\alpha+\beta+\gamma ) +(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha ) }

(式2)が、

{a-b=-(\alpha+\beta+\gamma ) -(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha ) }

であるから、辺ぺん加えて、

{2a=-2(\alpha+\beta+\gamma ) }

辺ぺん引き算して、

{2b=2(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )}

 よって、{a=-(\alpha+\beta+\gamma ) } かつ、{b=(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )} となり、{a} も、{b} も、{c} も、係数比較したものと同じになる」

結弦「お父さん。こうなるだろうじゃなくて、本当に計算してみるんだね」

私「これは、大学3回生のときの、上野さんのゼミで、チューターとして付いてくれていた、先生が、数学の本を読むとき、『この本は、誤植がないから、つまらない。誤植つぶしが楽しみなのに』と言ったのと、4回生で、天体核のゼミで、チューターとして付いてくれていた先生が、『本の添え字の1つ、1つなんて、信じちゃ駄目だよ。全部確認した本が1冊できると、安心できるね。そのうち、ノートができてくるけどね』と、言ってくださったのが、私を学者にしてくれたのだと、今でも感謝している」

麻友「3回生で、数学を、4回生で、物理学を専攻したというのは、本当なのね」

私「21行しか進まなかったな。でも、量より質を重んじるからな」

若菜「お父さん。この本は、本当に丁寧に読んでいるのですね。ボロボロになっているわけですね。『数学基礎概説』『数Ⅲ方式ガロアの理論』を、愛読書、ナンバー1とナンバー2としたら、どうですか?」

結弦「ただそれだと、物理学の本が、なくなっちゃうんだよな」

私「物理学の本で、そこまでできる本を、探している」

麻友「じゃあ、明日は、もう少し頑張ってね」

私「分かった。それにしても、インターネットを使えるというのは、数学の冒険でも、今まで以上に面白くなるな」

若菜「その意気です」

結弦「パイの剣や、無敵のサーベルや、無料のパスポートとか、武器をいくつも、持っているんだからさあ」

麻友「じゃ、おやすみ」

若菜・結弦「おやすみなさーい」

私「おやすみ」

 現在2021年1月7日23時34分である。おしまい。

数Ⅲ方式ガロアの理論(その34)

 現在2021年1月4日20時23分である。(この投稿は、ほぼ2206文字)

麻友「太郎さん、年賀状出さなかったの?」

私「去年から、紙の年賀状は、出さないことにして、メールだけにしてる」

麻友「それで、返事のメール来た?」

私「一通も来てない。親戚から、3通、家族から、3通、来たのと、高校の時の担任の先生から、今年もいただいた」

麻友「メールアドレス知ってるの?」

私「知らないから、出しようがない。でも、先生は、私のブログを見てるかも知れないから、ここを見てもらえると、嬉しいな。

『先生、本年もよろしくお願いします』

それでは、若菜、結弦、始めようか」


若菜「先生にだけでも、年賀状差し上げれば良かったのに」

結弦「お父さん。今まで人に恵まれていたのは、こまめに付き合いをしてきたからじゃないの?」

私「もうちょっとで、年賀状というものも、なくなる。新しい時代では、別なことが、大切になるだろう」


麻友「始めるわよ。本文21ページ、14行目から」



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広田 これを使って連立方程式が解けるだろう.たとえば

{\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle
x+y=4\\
xy=1\\
\end{array}
\right.
}

小川 {x,y}{2} 次方程式

{t^2-4 t +1=0}

の二根ですね.これを解いて

{t=2 \pm \sqrt{3},}

これから

{\left\{
\begin{array}{l}
x=2+\sqrt{3}\\
y=2-\sqrt{3}\\
\end{array}
\right.~~ \left\{\begin{array}{l}
x=2-\sqrt{3}\\
y=2+\sqrt{3}.\\
\end{array}
\right.
}



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若菜「そこ、素通りするんですか?」

麻友「太郎さんは、ほとんど素通りしてるけど、やっぱり引っ掛かるわよね。調べたわよ。根と係数の関係から、

{x^2+ax+b=0} の二根を、{\alpha ,\beta} とすると、

{\left\{
\begin{array}{l}
\alpha+\beta=-a\\
\alpha \beta=b\\
\end{array}
\right.

}
となるわね。


{\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle
x+y=4\\
xy=1\\
\end{array}
\right.
}

{x,y} を、この、{\alpha ,\beta} だと思えば、

{-a=\alpha+\beta=4}

{b=\alpha \beta=1}

となって、

{x^2+ax+b=x^2-4x+1=0}

の、二根となる。小川君は、変数を、{t} に置き換えているけどね」

結弦「それで、

{t=2 \pm \sqrt{3}}

は?」

麻友「{2} 次方程式の解の公式で、{x}{1} 次の係数が、偶数の場合、

{t^2+2bt+c=0}

で、解の公式が、

{\displaystyle t=\frac{-2b \pm \sqrt{(2b)^2-4\cdot 1 \cdot c}}{2}=\frac{-2b \pm \sqrt{4(b^2-1 \cdot c)}}{2}}

{\displaystyle =\frac{-2b \pm 2\sqrt{b^2-c}}{2}=-b \pm \sqrt{b^2-c}}

と、簡単になる、というのが、あったわね。私も忘れてたけど」

結弦「それで、{2b=-4} だったから、{b=-2,c=1} だから、

{t=2 \pm \sqrt{(-2)^2-1}=2 \pm \sqrt{4-1}=2\pm \sqrt{3}}

と、求まった。お父さんの頭の中では、こんなに全部完璧に繋がっているんだね」

私「それが、大学1回生から2回生の頃、壊れだしたから、深刻なことになったんだよ」

若菜「それが、再建できるというのが、数学が科学であって、哲学ではないということなんでしょうね」

私「今日は、頑張ったけど、6行しか進まなかった。麻友さん達が、ついてこられるよう、今のぐらいの丁寧さを、最後まで維持する。そうしないと、ガイドブックにならないから。これからも、どんどん質問してくれ」

結弦「お父さんを、困らせる質問をするよ」

若菜「何を聞いてもいいんですね」

私「もちろん」

麻友「じゃあ、ここまで」


若菜・結弦「おやすみなさーい」

麻友「おやすみ」

私「おやすみ」

 現在2021年1月4日22時20分である。おしまい。