『数Ⅲ方式ガロアの理論』のガイドブック

矢ヶ部巌『数Ⅲ方式ガロアの理論』(現代数学社)のガイドブックを作ることを目指します。ブログの先頭に戻るには、表題のロゴをクリックして下さい。

数Ⅲ方式ガロアの理論(その35)

 現在2021年1月7日19時19分である。(この投稿は、ほぼ5144文字)

私「2日間、申し訳なかった。再開する」

麻友「いいかしら?」

若菜「大丈夫です」

結弦「僕も」

麻友「じゃあ、テキスト21ページ下から5行目」


*******************************


広田 この問題とは逆に,{2} 次方程式

{x^2-5x+6=0}

は、根と係数との関係から,すぐに解けるだろう.

佐々木 和が {5},積が {6} となる二つの数,{2}{3} だ.

広田 それは,連立方程式

{\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle
u+v=5\\
uv=6
\end{array}
\right.
}

を解く事だ.

小川 そうか.初めの {2} 次方程式を解く事は

{\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle
u+v=-\frac{b}{a}\\
\displaystyle
uv=\frac{c}{a}
\end{array}
\right.
}

という連立方程式を解く事に帰着されるのですね.

広田 この連立方程式が最初の {2} 次方程式よりも簡単に解ける場合──たとえば,見ただけで解ける時──だけしか有効ではないのだがね.

佐々木 このアイデア{3} 次方程式に応用するんだね.


             連立方程式への変形


小川 {3} 次方程式

{y^3+py+q=0}

の三根を {\alpha,\beta,\gamma} とすると

{\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle
\alpha + \beta + \gamma=0\\
\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =p\\
\alpha \beta \gamma =-q
\end{array}
\right.
}

ですね.



*******************************


結弦「ストップ、ストップ。なんで、小川君、高校3年生なのに、{3} 次方程式の根と係数の関係なんて、知ってるの?」

麻友「私も、いきなり {3} 次?って、思ったんだけど、{3} 次方程式の解き方自体は、高校で教えないけど、根と係数の関係(もしくは、解と係数の関係)だけは、高校数学Ⅱ・Bで、教えているみたいなの」

若菜「私は、2042年7月に、14歳で、過去の2018年から来た、お父さんとお母さんに、2018年の世界へ連れてきてもらった。だから、2018年に、中学2年生で、14歳だった。混乱を減らすために、誕生日は仮に6月30日とし、2021年1月7日の今日には、16歳になっていて、高校1年生。今年4月から、高校2年生です。7月にはこの世界で、3年過ごしたことに、なります」

結弦「僕は、2030年生まれで、2042年7月に、12歳だった。2年半経ったから、14歳で、中学2年生の生徒」

私「お前たちも、成長しているんだなあ」

麻友「子供の成長は、速いわね」

若菜「お父さん。この世界を、『数学は冒険』という世界にするんだ、と、言ってましたよね。ちゃんと、高校で、どんな風に、数学が教えられているか、チェックしとかなきゃ、駄目ですよ」

結弦「 {3} 次方程式の根と係数の関係だって、ネットでちょっとググれば、出て来ちゃう世の中なんだけど、{3} 次方程式

{y^3+py+q=0}

{3} 根を、{\alpha,\beta,\gamma} として、・・・」

若菜「 {\gamma} というのは?」

結弦「ギリシャ文字の、ガンマ の、小文字ね」

結弦「そうすると、方程式は、

{(y-\alpha )(y-\beta )(y-\gamma )=0}

と、因数分解されるはずだから、これを展開すると、

{y^3-(\alpha+\beta+\gamma ) y^2+(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )y-\alpha \beta \gamma =0}

となる」

若菜「それが、早すぎね」

結弦「まず、{y^3} は、いいでしょ。次に、{y^2} の係数は、{\alpha} と、{y} を、{2} 個掛けたもの、{\beta} と、{y} を、{2} 個掛けたもの、{\gamma} と、{y} を、{2} 個掛けたもの、の{3} つだから、{(\alpha+\beta+\gamma ) y^2} となって、{1} 個ずつマイナスが、あるから、{-(\alpha+\beta+\gamma ) y^2} となる。ここまでを書くと、

{y^3-(\alpha+\beta+\gamma ) y^2}

さらに、{y} の係数は、{\alpha} と、{\beta} とを掛けて、{y} を、掛けたもの、{\beta}{\gamma} と、{y} を掛けたもの、{\gamma} と、{\alpha} と、{y} を掛けたものになる。{\alpha} と、{\gamma} と、言わず、{\gamma} と、{\alpha} と、並べるのは、数学での美的センスで、係数がグルグル回っているときは、それにしたがった方が、綺麗だし間違いにくいからだ。それで、結局、

{(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )y}

まで来て、

{y^3-(\alpha+\beta+\gamma ) y^2+(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )y}

となって、最後は、定数項が、{(-\alpha )(-\beta )( -\gamma)=-\alpha \beta \gamma} と、なるのは、分かるね。これで、{3} 次方程式の根と係数の関係を、証明した」

若菜「意地の悪い質問だけど、係数比較できたのは?」

結弦「あっ、そうか。でもー、あっそう。お父さんがやったように、まず、{y=0} として、定数項を比較して、次に、{y=1} として、更に、{y=2} としたりして、包囲網を狭めて行けばいいんじゃない?」

私「やってみせると、

{x^3+ax^2+bx+c\\
=x^3-(\alpha+\beta+\gamma ) x^2+(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )x-\alpha \beta \gamma =0}

で、{x=0} として、{c=-\alpha \beta \gamma}

{x=1} として、{1+a+b+c=1-(\alpha+\beta+\gamma ) +(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )+c =0}

 {c} を両辺から消去して、

{1+a+b=1-(\alpha+\beta+\gamma ) +(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha ) } (式1)


{x^3+ax^2+bx+c\\

=x^3-(\alpha+\beta+\gamma ) x^2+(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )x-\alpha \beta \gamma =0}

で、{x=-1} として、

{-1+a-b+c\\

=-1-(\alpha+\beta+\gamma ) -(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )-\alpha \beta \gamma =0}

{c=-\alpha \beta \gamma} であったから、{-1} と共に消し、

{a-b=-(\alpha+\beta+\gamma ) -(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha ) } (式2)

(式1)より、

{1+a+b=1-(\alpha+\beta+\gamma ) +(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha ) }

であり、両辺から、{1} を引き算して、

{a+b=-(\alpha+\beta+\gamma ) +(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha ) }

(式2)が、

{a-b=-(\alpha+\beta+\gamma ) -(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha ) }

であるから、辺ぺん加えて、

{2a=-2(\alpha+\beta+\gamma ) }

辺ぺん引き算して、

{2b=2(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )}

 よって、{a=-(\alpha+\beta+\gamma ) } かつ、{b=(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )} となり、{a} も、{b} も、{c} も、係数比較したものと同じになる」

結弦「お父さん。こうなるだろうじゃなくて、本当に計算してみるんだね」

私「これは、大学3回生のときの、上野さんのゼミで、チューターとして付いてくれていた、先生が、数学の本を読むとき、『この本は、誤植がないから、つまらない。誤植つぶしが楽しみなのに』と言ったのと、4回生で、天体核のゼミで、チューターとして付いてくれていた先生が、『本の添え字の1つ、1つなんて、信じちゃ駄目だよ。全部確認した本が1冊できると、安心できるね。そのうち、ノートができてくるけどね』と、言ってくださったのが、私を学者にしてくれたのだと、今でも感謝している」

麻友「3回生で、数学を、4回生で、物理学を専攻したというのは、本当なのね」

私「21行しか進まなかったな。でも、量より質を重んじるからな」

若菜「お父さん。この本は、本当に丁寧に読んでいるのですね。ボロボロになっているわけですね。『数学基礎概説』『数Ⅲ方式ガロアの理論』を、愛読書、ナンバー1とナンバー2としたら、どうですか?」

結弦「ただそれだと、物理学の本が、なくなっちゃうんだよな」

私「物理学の本で、そこまでできる本を、探している」

麻友「じゃあ、明日は、もう少し頑張ってね」

私「分かった。それにしても、インターネットを使えるというのは、数学の冒険でも、今まで以上に面白くなるな」

若菜「その意気です」

結弦「パイの剣や、無敵のサーベルや、無料のパスポートとか、武器をいくつも、持っているんだからさあ」

麻友「じゃ、おやすみ」

若菜・結弦「おやすみなさーい」

私「おやすみ」

 現在2021年1月7日23時34分である。おしまい。

数Ⅲ方式ガロアの理論(その34)

 現在2021年1月4日20時23分である。(この投稿は、ほぼ2206文字)

麻友「太郎さん、年賀状出さなかったの?」

私「去年から、紙の年賀状は、出さないことにして、メールだけにしてる」

麻友「それで、返事のメール来た?」

私「一通も来てない。親戚から、3通、家族から、3通、来たのと、高校の時の担任の先生から、今年もいただいた」

麻友「メールアドレス知ってるの?」

私「知らないから、出しようがない。でも、先生は、私のブログを見てるかも知れないから、ここを見てもらえると、嬉しいな。

『先生、本年もよろしくお願いします』

それでは、若菜、結弦、始めようか」


若菜「先生にだけでも、年賀状差し上げれば良かったのに」

結弦「お父さん。今まで人に恵まれていたのは、こまめに付き合いをしてきたからじゃないの?」

私「もうちょっとで、年賀状というものも、なくなる。新しい時代では、別なことが、大切になるだろう」


麻友「始めるわよ。本文21ページ、14行目から」



*******************************



広田 これを使って連立方程式が解けるだろう.たとえば

{\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle
x+y=4\\
xy=1\\
\end{array}
\right.
}

小川 {x,y}{2} 次方程式

{t^2-4 t +1=0}

の二根ですね.これを解いて

{t=2 \pm \sqrt{3},}

これから

{\left\{
\begin{array}{l}
x=2+\sqrt{3}\\
y=2-\sqrt{3}\\
\end{array}
\right.~~ \left\{\begin{array}{l}
x=2-\sqrt{3}\\
y=2+\sqrt{3}.\\
\end{array}
\right.
}



*******************************


若菜「そこ、素通りするんですか?」

麻友「太郎さんは、ほとんど素通りしてるけど、やっぱり引っ掛かるわよね。調べたわよ。根と係数の関係から、

{x^2+ax+b=0} の二根を、{\alpha ,\beta} とすると、

{\left\{
\begin{array}{l}
\alpha+\beta=-a\\
\alpha \beta=b\\
\end{array}
\right.

}
となるわね。


{\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle
x+y=4\\
xy=1\\
\end{array}
\right.
}

{x,y} を、この、{\alpha ,\beta} だと思えば、

{-a=\alpha+\beta=4}

{b=\alpha \beta=1}

となって、

{x^2+ax+b=x^2-4x+1=0}

の、二根となる。小川君は、変数を、{t} に置き換えているけどね」

結弦「それで、

{t=2 \pm \sqrt{3}}

は?」

麻友「{2} 次方程式の解の公式で、{x}{1} 次の係数が、偶数の場合、

{t^2+2bt+c=0}

で、解の公式が、

{\displaystyle t=\frac{-2b \pm \sqrt{(2b)^2-4\cdot 1 \cdot c}}{2}=\frac{-2b \pm \sqrt{4(b^2-1 \cdot c)}}{2}}

{\displaystyle =\frac{-2b \pm 2\sqrt{b^2-c}}{2}=-b \pm \sqrt{b^2-c}}

と、簡単になる、というのが、あったわね。私も忘れてたけど」

結弦「それで、{2b=-4} だったから、{b=-2,c=1} だから、

{t=2 \pm \sqrt{(-2)^2-1}=2 \pm \sqrt{4-1}=2\pm \sqrt{3}}

と、求まった。お父さんの頭の中では、こんなに全部完璧に繋がっているんだね」

私「それが、大学1回生から2回生の頃、壊れだしたから、深刻なことになったんだよ」

若菜「それが、再建できるというのが、数学が科学であって、哲学ではないということなんでしょうね」

私「今日は、頑張ったけど、6行しか進まなかった。麻友さん達が、ついてこられるよう、今のぐらいの丁寧さを、最後まで維持する。そうしないと、ガイドブックにならないから。これからも、どんどん質問してくれ」

結弦「お父さんを、困らせる質問をするよ」

若菜「何を聞いてもいいんですね」

私「もちろん」

麻友「じゃあ、ここまで」


若菜・結弦「おやすみなさーい」

麻友「おやすみ」

私「おやすみ」

 現在2021年1月4日22時20分である。おしまい。

数Ⅲ方式ガロアの理論(その33)

 現在2021年1月3日12時29分である。(この投稿は、ほぼ2524文字)

麻友「マックで、始めたの?」

私「計算してみたら、525ページの本だろ、90日で終えるには、最低でも、1日5ページは、進めなければならない。本気でやらなきゃ」

結弦「やっと、計画を、立てたの? とにかく、始めようよ」

麻友「じゃ、始めるわよ」


*******************************


 根と係数との関係


佐々木 {2} 次方程式

{ax^2+bx+c=0~~~(a \neq 0)}

の二根を {\alpha ,\beta} とすると

{\displaystyle \alpha + \beta =- \frac{b}{a}~,~\alpha \beta =\frac{c}{a}}

かい.


*******************************


結弦「ストップ。根と係数の関係って?」

私「確かに、中学2年生は、知らない」

麻友「調べてきたわよ。


 根と係数の関係の証明

{\displaystyle x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0}

の解を、{\alpha,\beta} とする.

{(x- \alpha)(x-\beta)=x^2-(\alpha +\beta)x+\alpha \beta=0}

{\displaystyle x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=x^2-(\alpha +\beta)x+\alpha \beta=0}

が任意の {x} について成立.よって係数を比較して、

{\displaystyle \alpha +\beta=-\frac{b}{a},\alpha \beta=\frac{c}{a}}


で、どうよ」

若菜「こういう場合、テストの模範解答でも、『係数を比較して』と、なってますが、どうして係数比較して良いのですか?」

麻友「えっ、どうして、係数比較して良いか? そんなこと、・・・。太郎さんのノート見せて」


麻友「あっ、


係数を比較できるのは、移項して、

{\displaystyle \biggl(\alpha + \beta+\frac{b}{a} \biggr)x+\biggl(- \alpha \beta+\frac{c}{a} \biggr)=0}

{x=0} として、

{\displaystyle -\alpha \beta +\frac{c}{a}=0}

よって、{\displaystyle \frac{c}{a}=\alpha \beta }

このとき、{x=1} として、{\displaystyle \alpha + \beta=-\frac{b}{a}}

           {\mathrm{Q.E.D.}} 2016.9.20 16:58


太郎さんのノートの、33ページよ。2016年だから、私に説明するようになった後だわ。私には越えられないギャップだと思って、書き加えたのね」

私「麻友さんのためというより、私自身のギャップ克服力が上がったんだ。一旦高校1年生レヴェルまで、落ちているからね。大学に入る前は、こんなの常識と、片付けていたことも、全部ギャップは潰すようになった。さらに、以前は克服できなかったことも、精神科入院後、数学力が上がって、克服できるようになった」

麻友「でも、このノートは、1999年12月25日とか、2000年1月5日とか日付がある。私が、5歳だから、この年の3月に6歳になり、小学校に入る。このときの太郎さんは、見逃してる」

私「確かに、麻友さんの影響は、大きいよ。それでは、本文に戻ろう」


麻友「じゃあ、本文21ページ14行目から、


*******************************


広田 これを使って連立方程式が解けるだろう.たとえば

{\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle
x+y=4\\
xy=1\\
\end{array}
\right.
}


*******************************


私「そろそろ、家へ帰るよ」

 現在2021年1月3日14時22分である。中断。




 現在2021年1月3日20時01分である。再開。

私「マックでやれば、集中できるかと思ったんだけど、{\TeX} のコマンドを打つスピードが、明らかに落ちるので、半ページすら、進めなかった。明日からは、家で、最低でも3ページ進めよう。第15章辺りから、置換の話が出て来て、大きく、

{

\begin{pmatrix}
\displaystyle
1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
2 & 3 & 1 & 5 & 4
\end{pmatrix}
}

などと紙面を取る記号などが出て来るので、ページ数を稼げる。大丈夫だ。麻友さんの誕生日までには、何らかのものが、できている」

麻友「今晩は、ここまで?」

私「私は、この後、戦友との量子力学のゼミのため、『量子力学の数学的構造Ⅰ』を、読む。


新井朝雄(あらい あさお)江沢洋(えざわ ひろし)『量子力学の数学的構造Ⅰ』(朝倉書店)

だ」

結弦「量子力学の冒険は、お父さんまだ進行中なんだ」

若菜「これで、終わりって、あるんですか?」

私「それは、現在の私にも分からない」

麻友「お楽しみが、まだあるのね。じゃあ、バイバイ」

私「バイバイ」

若菜・結弦「バイバーイ」

 現在2021年1月3日21時11分である。おしまい。