『数Ⅲ方式ガロアの理論』のガイドブック

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数Ⅲ方式ガロアの理論(その32)

 現在2021年1月2日20時33分である。(この投稿は、ほぼ1515文字)

麻友「結局、1月2日スタート?」

私「『数Ⅲ方式ガロアの理論』の、過去の記事を、全部読んでいたんだ」

若菜「過去のものと、かみ合わないと、恥ずかしいですものね」

結弦「それで、始められるの?」

私「ほぼ、調子整えた。麻友さん、始めて」

麻友「じゃあ、始めるわよ。テキスト20ページ10行目から」


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小川 という事は

{(x}の整式{)^3=}定数

という方程式には変形できない──という事ですね.

佐々木 完全な失敗だ.時間の浪費だ.

広田 「失敗は成功のもと」という.失敗にも教訓はある.

佐々木 転んでもタダでは起きない.

広田 問題の差は {x}{1} 次式となっている.これは使える.

{\displaystyle \frac{3ac-b^2}{3a^2}x +\frac{27a^2d-b^3}{27a^3}}

{\displaystyle =\frac{3ac-b^2}{3a^2}\biggl(x+\frac{b}{3a}\biggr)-\frac{3abc-b^3}{9a^3}+\frac{27a^2d-b^3}{27a^3}}

{\displaystyle =\frac{3ac-b^2}{3a^2}\biggl(x+\frac{b}{3a}\biggr)+\frac{27a^2d-9abc+2b^3}{27a^3}}

と,{\displaystyle x+\frac{b}{3a}}{1} 次式で表わされる.

小川 アッ,そうか.

{\displaystyle y=x+\frac{b}{3a},p=\frac{3ac-b^2}{3a^2},q=\frac{27a^2d -9abc+2b^3}{27a^3}}

とおくと,最初の方程式は新しい未知数 {y} についての {3} 次方程式

{y^3+py+q=0}

に変形されるのですね.


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結弦「ここが、分からない」

麻友「前回の変形で、

{\displaystyle \biggl(x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a} \biggr)-\biggl(x+\frac{b}{3a} \biggr)^3}

{\displaystyle =\biggl(x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a} \biggr)-\biggl(x^3+\frac{b}{a} x^2 +\frac{b^2}{3a^2} x+\frac{b^3}{27a^3} \biggr)}

{\displaystyle =\frac{3ac-b^2}{3a^2}x+\frac{27a^2d-b^3}{27a^3}}

だった。

 だから、

{\displaystyle \biggl(x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a} \biggr)}

{\displaystyle =\biggl(x+\frac{b}{3a} \biggr)^3+\frac{3ac-b^2}{3a^2}x+\frac{27a^2d-b^3}{27a^3}}

{\displaystyle =\biggl(x+\frac{b}{3a} \biggr)^3+\frac{3ac-b^2}{3a^2}\biggl(x+\frac{b}{3a}\biggr)+\frac{27a^2d-9abc+2b^3}{27a^3}}

となって、{y,p,q} を上のように定義すると、

{y^3+py+q=0}

となる。1ステップずつクリアしていくと、辛うじて分かる」

結弦「なるほど」


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 {2} 次の項がなくなった,少し簡単な方程式に変形されるのですね.

佐々木 でも,どうやって解くの.

広田 そこで,もう一度,{2} 次方程式を反省しよう.{2} 次方程式を扱うとき,根の公式の外に,大事な性質があっただろう.

小川 根と係数との関係ですか?


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結弦「まだ、第2章で、始まったばっかりだよね。また、{2} 次方程式を反省しよう、やってるよ。2回目だ」

麻友「そうなのよ」

若菜「お母さん、上の式、手でチェックした?」

麻友「前回、計算したものは、信じて、変化したところだけ、計算した」

私「そのやり方で良い。全部最初に戻っていたら、時間がいくらあっても、足りない」

麻友「そうよね」

私「さて、今日は、ここまでにしよう。明日からは、もっと早い時間から始める」

若菜「期待してます。お父さんは、ほとんどの式を、手で確かめているのですよね」

私「ブリング/ジラードの標準形以外、確かめている」

若菜「心強いです」


麻友「じゃあ、おやすみ」

若菜・結弦「おやすみなさーい」

私「おやすみ」

 現在2021年1月2日22時05分である。おしまい。