数Ⅲ方式ガロアの理論（その３０） - 『数Ⅲ方式ガロアの理論』のガイドブック

　現在２０２０年７月１０日１６時０１分である。（この投稿は、ほぼ５７９７文字）

麻友「どうして、マックへ、勉強道具持って行ったのに、帰って来ちゃったの？」

私「マック、店内で食事させないためか、冷房効かせすぎなんだ」

若菜「上に羽織るもの、３枚も持って行ってなかったですか？」

私「今年、母が買ってくれた、ジャケット、以前から持っているジャケット、それに、セーターも、持っていったのに、寒くて逃げ出さずにはいられなかった」

結弦「それは、酷いなあ。お客さんいなかったでしょう」

私「うん。４，５人しかいなかった」

麻友「家に帰ってくると、勉強するものも、変わるのね。３日連続で、ガロアに、取り組む？」

私「その前に、帰ってきてから調べた成果がある」

結弦「えっ、何？」

私「３年前に調べたときは、なかったけど、ブリング／ジラードの標準形、計算したのを、公開している人がいる。以下のページだ」

５次方程式の解の公式をガチで求めようneqmath.blogspot.com

若菜「この人、手計算ですかね？」

私「それは、有り得ない。数式処理ソフトを、使ってるはずだ」

結弦「僕たちは、登場してないけど、お父さんが、数Ⅲ方式ガロアの理論の連載を始めたのは、『女の人のところへ来たドラえもん』の２０１７年９月２１日だ。一方、この計算した人の記事は、２０１８年８月１５日。お父さんが言ってることも、一応筋が通っている」

若菜「じゃあ、Mathematica は、いらない？」

私「そんなことは、ない。このねくノートというブログを書いている、きいねくさんが、計算間違いしてないかどうか、確かめる必要がある。それに、Mathematica は、色んな場面で、使えるありがたいソフトなんだ」

麻友「太郎さんは、どこまでなら、手計算でやるの？」

私「よっぽどのことがない限り、手計算で、計算するよ。でも、計算して、項が５０個を超えたりしたら、計算間違いする可能性の方が、コンピューターが間違う可能性を、上回るから、コンピューターを信じて、計算を任せる」

若菜「その５０項の計算をできる計算力は、お父さんのお父様の、『たのしい算数』のお陰ですか？」

私「そうだね。『たのしい算数』は、『数学は、計算力がすべてだから、計算力を付けさせる』という父から、生まれたものだからね。そして、公文」

麻友「その、公文なんだけどね、ある情報によると、太郎さんが、最後までやってないということなんだけど、弁明できる？」

私「ああ、京都から、中退して帰ってきたとき、最後のＴの教材が、ビニールに入って、手付かずのままだったのを、父がもらい受けた話だろう」

麻友「やっぱり、最後まで、やってないの？」

私「それは、こういうことだったんだ。広島に行くとき、公文の馬場先生から、確か、Ｊから後ずっと、Ｔまでの、教材と解答をもらった。だが、数学の研究（要するに５次方程式とか、集合論とか、微積分）に、取り組んでいた私は、毎日公文と取り組むなんてことは、しなかった。そして、教材を見ていって、新しい記号が出て来るところを中心に、取り組んだ。それでも、偏微分の記号 ${\partial}$ の交換とか、重積分とか、常微分方程式の一般解とか、色々学んだよ」

結弦「えっ、それ、大学レヴェルじゃない？」

私「そうだよ。公文では、大学レヴェルのこと教えるんだ」

若菜「大学入試で、必要ないでしょ」

私「ところが、どっこい。京都大学や東京大学は、大学で教える内容から、問題を出してくる」

麻友「そんなの、卑怯じゃない？」

私「センター試験レヴェルの数学の問題で、理学部に入る学生を、選別できるわけないだろう」

若菜「じゃあ、どんな問題が出て来るんですか？」

私「私が、受けたときは、行列式とか、テイラー展開とか、平気で出てきた」

麻友「そういう入試には、どうやったら対策立てられるの？」

私「数学以外は、Ｚ会（ぜっとかい）の添削だね。それから、数学は、『大学への数学』という雑誌の添削を、受ける。もう、７月になってるけど、もしこれを読んでいるのが、受験生なら、明日にでも本屋に行って、『大学への数学（７月号）』を買ってきて、挑戦しよう。最初は、歯が立たないだろうが、段々解けるようになる。私が、浪人生のとき、なかなか１００点取れなかったが、あの川口周君は、いつも１００点だった。現役なのに、、、と思っていたら、図書館にあったバックナンバーで、川口周君は、高校２年のときから、添削を受けていて、その頃は、１００点ではなかったことが、分かった。少し安心した。このときから、大学に入ったら、川口周君に会いたいと思ったのだった」

雑誌『大学への数学（７月号）』（東京出版）

大学への数学 2020年 07 月号 [雑誌]

東京出版

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麻友「ああ、そういうことだったのね。川口周さん、ちゃんと、数学者になった」

私「比較的最近、この本も出版していることが分かった」

森脇淳（もりわき　あつし）／川口周（かわぐち　しゅう）／生駒英晃（いこま　ひであき）『モーデル-ファルティングスの定理』（サイエンス社）

モーデル‐ファルティングスの定理―ディオファントス幾何からの完全証明 (ライブラリ数理科学のための数学とその展開)

作者:淳, 森脇,周, 川口,英晃, 生駒
サイエンス社

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若菜「お父さんの本は、ないですね」

結弦「この『『数Ⅲ方式ガロアの理論』のガイドブック』が、完成したら、電子書籍にでもなるんでしょう」

麻友「それで、公文はＪから始めて、どこまでやったの？」

私「大学の力学の範囲だけど、慣性モーメントとか、座標変換とか、やって、ＲとＳに、マクスウェルの電磁気学が、あるんだ。そこまでは、やった。解答と見比べながら。そこまでやって、高校３年で、最後のＴを、開こうとしたら、最初が、イプシロン・デルタだったんだよね。イプシロン・デルタは、高校２年で、

田島一郎『イプシロン-デルタ』（共立ワンポイント双書）

イプシロン-デルタ (数学ワンポイント双書)

作者:田島一郎
共立出版

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を、読んであり、ここから先は、完全に大学生向けだな、と思って、暇なときやろうと思って、結局暇なんてなくて、中退するまで、開かずじまいだった。というわけだよ」

麻友「ああ、だから、太郎さんが、大学の数学への準備ができてなかった、なんていうことは、まったくなかったわけね」

私「うん。それに、公文では、集合論の連続体仮説なんて、出てこないだろうし、、、と思って、今公文のホームページ見たら、『Ｒ～Ｖというのを、大学教養課程相当の研究コースとして作りました』と、書いてある。需要があるんだねえ」

麻友「これで、噂の真相は、分かったけど、太郎さんは、あまり公文やらなかったというのは、半分は本当ね」

私「実は、妹が、若菜と結弦、つまり姪と甥に、いい加減なことを、吹き込んでいて、困ったこともあった」

麻友「どういうふうに？」

私「若菜が、数学の問題を、解いてて、『これ、分からない』、と、持って来たんだ。私は、その問題の条件が、解けるように揃っていないのに気付いた。だから、『角Ａって、どこ？』と、若菜に聞いた。若菜は、『ここ』と、言ったが、そことは、限らなかった。私は、『これ、問題自体が、間違っているんだよ。それを、指摘させたいんだ』と言ったら、若菜が、『これで、大学院？』と、妹に聞いたのだ。後で分かったが、妹の家では、『たろちゃん、というのは、大学院の数学科に行ってたんだ』みたいに、吹き込まれていたらしい。ただまあ、普通の人の分かる数学レヴェルでは、数学科の学部卒でも、博士課程出てても、ほとんど違いは、分からないだろうな」

麻友「今は、若菜も結弦も、分かってるのね」

私「このブログ、読んでるくらい、だからね」

若菜「じゃあ、ガロア、始めましょう」

麻友「テキスト１８ページ、下から８行目からだけど、下から１０行目から、始めるわよ」

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広田　感心，感心．入学試験に出したら，結果はサンザンだった──という話を聞いた事がある．さすが，現役だけの事はある．

　ところで，この解き方で使ったアイデアは何だ．

佐々木　方程式の両辺に適当な定数を加えて，左辺を完全平方式に変形して

　　完全平方式　＝　定数

という形の方程式を作る事だよ．

小川　一番簡単な２次方程式

　　 ${X^2=}$ 定数

に帰着させる事ですね．

広田　このアイデアを３次方程式に応用してみよう．

　　完全立方式への変形

小川　 ${a,b,c,d}$ が実数のとき，３次方程式

${ax^3+bx^2+cx+d=0~~(a \neq 0)}$

を

${(x}$ の整式 ${)^3=}$ 定数

という方程式に変形するのですね．

広田　そうだ．計算を見通しよくするために， ${x^3}$ の係数を簡単にしておくのがよい．両辺を ${a}$ で割った

$x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}=0$

という方程式を変形しよう．

　これでも，初めの計画に狂いはない．

小川　初めの方程式と同値だからですね．

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結弦「ちょっと、待って。『方程式が同値』って、どういうこと？」

麻友「イヤミねー。一番突いて欲しくなかったところを、突いてきたわね。太郎さんのＮＫのノートに、同値という記号 ${\Longleftrightarrow}$ も、見つけたけど、『方程式が同値』というのが、どういうことなのか、分からないのよ。どうすればいいの？」

若菜「真か、偽かが、同じになるって、ことですよね。両方の方程式で」

麻友「真か偽か？　じゃあ、答えが同じってこと？」

私「さすが特待生。燕返しだな。そういうことだよ。ここでは、両方の方程式の根が同じという意味だよ」

結弦「 ${a}$ で割っても、答えが求まって、因数分解できてみれば、

${a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=0}$

の答え、 ${\alpha,\beta,\gamma}$ は、

${(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=0}$

の答えと、同じだもんな」

麻友「でも、今は、答えが求まらないかも、という話をしてるのよ」

私「それは、今の麻友さんには、無理だな。どんな場合でも、代数方程式は、解が存在し、因数分解できるというのは、数学の王様、ガウスが、１７９９年に、学位論文で証明した、代数学の基本定理だ。この証明をしてあったので、後にアーベルが、１８２４年に、５次方程式が解けないという、パンフレットを送ったのに、ガウスは、『よくもこんなものが書けたものだ，恐ろしいことだ』と、相手にしなかった。アーベルが、ヨーロッパ中周りながら、ゲッチンゲンのガウスにとうとう会わなかったのは、これが原因とも言われている」

麻友「えっ、５次方程式って、結局解けるの？　解けないの？」

私「どういう方法を使ったら、解けるのか？　という方法によるんだよ。１９世紀初頭の数学者は、５次方程式も、足し算引き算掛け算割り算累乗根で、解けると思っていた。それを、もっと別な方法を使わなければ、解けないと、アーベルは、指摘したんだ。だが、どっちにせよ、答えがあること自体は、ガウスの言っているように、正しい。だから、因数分解できる」

麻友「その、代数学の基本定理って、難しいの？」

私「理学部の１回生レヴェルだよ。杉浦さんの『解析入門Ⅰ』の１８８ページから１９０ページに証明がある。ところで、私に取っては、因縁の定理でもある。数学築き直しの大芝猛さんの『数学基礎概説』は、まったくの無から、代数学の基本定理を証明するのが、目標だったんだ」

大芝猛『数学基礎概説』（共立出版）