『数Ⅲ方式ガロアの理論』のガイドブック

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数Ⅲ方式ガロアの理論（その３５）

　現在２０２１年１月７日１９時１９分である。（この投稿は、ほぼ５１４４文字）

私「２日間、申し訳なかった。再開する」

麻友「いいかしら？」

若菜「大丈夫です」

結弦「僕も」

麻友「じゃあ、テキスト２１ページ下から５行目」


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広田　この問題とは逆に，{2} 次方程式

{x^2-5x+6=0}

は、根と係数との関係から，すぐに解けるだろう．

佐々木　和が {5}，積が {6} となる二つの数，{2} と {3} だ．

広田　それは，連立方程式

{\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle u+v=5\\ uv=6 \end{array} \right. }

を解く事だ．

小川　そうか．初めの {2} 次方程式を解く事は

{\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle u+v=-\frac{b}{a}\\ \displaystyle uv=\frac{c}{a} \end{array} \right. }

という連立方程式を解く事に帰着されるのですね．

広田　この連立方程式が最初の {2} 次方程式よりも簡単に解ける場合──たとえば，見ただけで解ける時──だけしか有効ではないのだがね．

佐々木　このアイデアを {3} 次方程式に応用するんだね．


　　　　　　　　　　　　　連立方程式への変形


小川　{3} 次方程式

{y^3+py+q=0}

の三根を {\alpha,\beta,\gamma} とすると

{\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \alpha + \beta + \gamma=0\\ \alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =p\\ \alpha \beta \gamma =-q \end{array} \right. }

ですね．



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結弦「ストップ、ストップ。なんで、小川君、高校３年生なのに、{3} 次方程式の根と係数の関係なんて、知ってるの？」

麻友「私も、いきなり {3} 次？って、思ったんだけど、{3} 次方程式の解き方自体は、高校で教えないけど、根と係数の関係（もしくは、解と係数の関係）だけは、高校数学Ⅱ・Ｂで、教えているみたいなの」

若菜「私は、２０４２年７月に、１４歳で、過去の２０１８年から来た、お父さんとお母さんに、２０１８年の世界へ連れてきてもらった。だから、２０１８年に、中学２年生で、１４歳だった。混乱を減らすために、誕生日は仮に６月３０日とし、２０２１年１月７日の今日には、１６歳になっていて、高校１年生。今年４月から、高校２年生です。７月にはこの世界で、３年過ごしたことに、なります」

結弦「僕は、２０３０年生まれで、２０４２年７月に、１２歳だった。２年半経ったから、１４歳で、中学２年生の生徒」

私「お前たちも、成長しているんだなあ」

麻友「子供の成長は、速いわね」

若菜「お父さん。この世界を、『数学は冒険』という世界にするんだ、と、言ってましたよね。ちゃんと、高校で、どんな風に、数学が教えられているか、チェックしとかなきゃ、駄目ですよ」

結弦「 {3} 次方程式の根と係数の関係だって、ネットでちょっとググれば、出て来ちゃう世の中なんだけど、{3} 次方程式

{y^3+py+q=0}

の {3} 根を、{\alpha,\beta,\gamma} として、・・・」

若菜「 {\gamma} というのは？」

結弦「ギリシャ文字の、ガンマ の、小文字ね」

結弦「そうすると、方程式は、

{(y-\alpha )(y-\beta )(y-\gamma )=0}

と、因数分解されるはずだから、これを展開すると、

{y^3-(\alpha+\beta+\gamma ) y^2+(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )y-\alpha \beta \gamma =0}

となる」

若菜「それが、早すぎね」

結弦「まず、{y^3} は、いいでしょ。次に、{y^2} の係数は、{\alpha} と、{y} を、{2} 個掛けたもの、{\beta} と、{y} を、{2} 個掛けたもの、{\gamma} と、{y} を、{2} 個掛けたもの、の{3} つだから、{(\alpha+\beta+\gamma ) y^2} となって、{1} 個ずつマイナスが、あるから、{-(\alpha+\beta+\gamma ) y^2} となる。ここまでを書くと、

{y^3-(\alpha+\beta+\gamma ) y^2}

さらに、{y} の係数は、{\alpha} と、{\beta} とを掛けて、{y} を、掛けたもの、{\beta} と {\gamma} と、{y} を掛けたもの、{\gamma} と、{\alpha} と、{y} を掛けたものになる。{\alpha} と、{\gamma} と、言わず、{\gamma} と、{\alpha} と、並べるのは、数学での美的センスで、係数がグルグル回っているときは、それにしたがった方が、綺麗だし間違いにくいからだ。それで、結局、

{(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )y}

まで来て、

{y^3-(\alpha+\beta+\gamma ) y^2+(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )y}

となって、最後は、定数項が、{(-\alpha )(-\beta )( -\gamma)=-\alpha \beta \gamma} と、なるのは、分かるね。これで、{3} 次方程式の根と係数の関係を、証明した」

若菜「意地の悪い質問だけど、係数比較できたのは？」

結弦「あっ、そうか。でもー、あっそう。お父さんがやったように、まず、{y=0} として、定数項を比較して、次に、{y=1} として、更に、{y=2} としたりして、包囲網を狭めて行けばいいんじゃない？」

私「やってみせると、

{x^3+ax^2+bx+c\\ =x^3-(\alpha+\beta+\gamma ) x^2+(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )x-\alpha \beta \gamma =0}

で、{x=0} として、{c=-\alpha \beta \gamma}

{x=1} として、{1+a+b+c=1-(\alpha+\beta+\gamma ) +(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )+c =0}

　{c} を両辺から消去して、

{1+a+b=1-(\alpha+\beta+\gamma ) +(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha ) } （式１）


{x^3+ax^2+bx+c\\ =x^3-(\alpha+\beta+\gamma ) x^2+(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )x-\alpha \beta \gamma =0}

で、{x=-1} として、

{-1+a-b+c\\ =-1-(\alpha+\beta+\gamma ) -(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )-\alpha \beta \gamma =0}

{c=-\alpha \beta \gamma} であったから、{-1} と共に消し、

{a-b=-(\alpha+\beta+\gamma ) -(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha ) } （式２）

（式１）より、

{1+a+b=1-(\alpha+\beta+\gamma ) +(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha ) }

であり、両辺から、{1} を引き算して、

{a+b=-(\alpha+\beta+\gamma ) +(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha ) }

（式２）が、

{a-b=-(\alpha+\beta+\gamma ) -(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha ) }

であるから、辺ぺん加えて、

{2a=-2(\alpha+\beta+\gamma ) }

辺ぺん引き算して、

{2b=2(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )}

　よって、{a=-(\alpha+\beta+\gamma ) } かつ、{b=(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )} となり、{a} も、{b} も、{c} も、係数比較したものと同じになる」

結弦「お父さん。こうなるだろうじゃなくて、本当に計算してみるんだね」

私「これは、大学３回生のときの、上野さんのゼミで、チューターとして付いてくれていた、先生が、数学の本を読むとき、『この本は、誤植がないから、つまらない。誤植つぶしが楽しみなのに』と言ったのと、４回生で、天体核のゼミで、チューターとして付いてくれていた先生が、『本の添え字の１つ、１つなんて、信じちゃ駄目だよ。全部確認した本が１冊できると、安心できるね。そのうち、ノートができてくるけどね』と、言ってくださったのが、私を学者にしてくれたのだと、今でも感謝している」

麻友「３回生で、数学を、４回生で、物理学を専攻したというのは、本当なのね」

私「２１行しか進まなかったな。でも、量より質を重んじるからな」

若菜「お父さん。この本は、本当に丁寧に読んでいるのですね。ボロボロになっているわけですね。『数学基礎概説』『数Ⅲ方式ガロアの理論』を、愛読書、ナンバー１とナンバー２としたら、どうですか？」

結弦「ただそれだと、物理学の本が、なくなっちゃうんだよな」

私「物理学の本で、そこまでできる本を、探している」

麻友「じゃあ、明日は、もう少し頑張ってね」

私「分かった。それにしても、インターネットを使えるというのは、数学の冒険でも、今まで以上に面白くなるな」

若菜「その意気です」

結弦「パイの剣や、無敵のサーベルや、無料のパスポートとか、武器をいくつも、持っているんだからさあ」

麻友「じゃ、おやすみ」

若菜・結弦「おやすみなさーい」

私「おやすみ」

　現在２０２１年１月７日２３時３４分である。おしまい。