『数Ⅲ方式ガロアの理論』のガイドブック

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数Ⅲ方式ガロアの理論(その29)

 現在2020年7月9日18時04分である。

麻友「太郎さん。昨日、最後の方、眠かったんじゃない?」

私「ばれた?」

麻友「『女の人のところへ来たドラえもん』のブログの『整数環』という投稿で、


3次方程式 一般解の理解 1987.9.18

     教職数学 代数 が引き金


とあるのに、昨日、


高校1年生の私は、色んな本を見て、遂にカルダノの解法にたどり着く。『代数学辞典 上』問題番号3159 1987年12月29日に制覇したとメモがある


と言ってる」

私「自分でもね、3次方程式が12月だったら、4次方程式はいつだったのかな? と、疑問は、あったんだ。ただ、『代数学辞典 上』に、確かに日付はあるし」

結弦「じゃあ、どっちか、不明?」

私「朝起きたとき、気付いたんだ。『代数学辞典 上』は、サンタさんのプレゼントだったとね」

若菜「あっ、そうか。『教職数学 代数』で、9月に分かったっていうのは、本当で、その後、クリスマスにサンタさんが、『代数学辞典 上』を、持って来てくれて、12月29日に、お父さんが、カルダノの解法を、改めてチェックしたということなんだ」

麻友「だとすると、


4次方程式 フェラリの解法の理解    1987.11.27


というのも、本当なのね」

私「歴史家が、『こういう記述があるから、この科学者は、これを、このときには、発見していただろう』、などと推測するけど、自分のことですら、間違えるんだから、科学史なんて、当てにならないね」


私「あっ、ごめん。麻友さん。大丈夫?」

麻友「えっ、どうしたの?」

私「さっき、母の所へ、生活費をもらいに行ったとき、冷凍のチャーハンを、もらったんだ。マックで、数学やって、そのとき使ったペンケースがリュックに入ってたけど、短い時間だから大丈夫だろうと、ペンケースの上に、チャーハンを乗せていた。家に帰って『発見・新たに知った事』のノートをつき合わせてブログ書き始めて、忘れてたんだ」

結弦「じゃあ、びしょびしょ?」

若菜「水も滴るいい女ですか」

私「確かに、新しいのもあるかもしれないけど、きちんとした作りになってる。糸もほつれてないし、写真も剥げてきたりしてない」

麻友「私が、一針一針、千人針のように、心を込めて縫ったんだから、冷凍チャーハンくらいでは、びくともしないわよ」

私「大事にするからね」


麻友「じゃあ、ガロア、始めるわよ」

私「分かった」

麻友「テキスト17ページ下から7行目からだけど、下から8行目から始めるわよ。


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佐々木 ぼく,オッチョコチョイな奴.

小川 根の公式は,どうなるのですか.

広田 どうなるかな──それを考えてもらう.

佐々木 考えろって.どういう風に.

広田 経験を生かせ.

佐々木 因数分解する方法しか経験してない.でも,それは通用しないよ.

広田 新しい問題に直面したら似た問題を思い出す.あるだろう.

小川 2次方程式の解法ですか.



  2次方程式解法の反省


広田 2次方程式の根の公式は,どうやって見つけたか──反省しよう.


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結弦「あっ、ストップ」

私「気付いたな」

若菜「あっ、これですね。

『25回くらい、『反省しよう』『戻って考えよう』『これは、出て来たな』などと、どこまで戻って良いのか困る場面が、ある』

とお父さんが言ってたの。記念すべき1回目ですね」

麻友「ここが、1回目だったのね。ノーマークだったわ。続けるわよ」


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佐々木 {a,b,c} が実数のとき,2次方程式

{a x^2+b x +c=0~~(a \neq 0)}

の根の公式だね.

 定数項を右辺に移項すると

{a x^2+b x =-c,}

両辺に {4a} を掛けると

{4a^2 x^2+4ab x =-4ac,}

両辺に {b^2} を加えて,左辺を変形すると

{(2ax+b)^2=b^2-4ac,}


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若菜「その式変形、許されるのですか?」

私「文系の高校卒の麻友さんが、分からない、式変形は、しないのだったな。麻友さん。補ってごらん」


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{4a^2 x^2+4ab x =-4ac,}

 両辺に {b^2} を加えて

{4a^2 x^2+4ab x +b^2=b^2-4ac,}

 ここで、先を見越して、展開して左辺になるものを、見つけるの。

{(2ax+b)^2=4a^2 x^2+4ab x +b^2}

 上の式の左辺になってるわね。だから、

{(2a x+b)^2=b^2-4ac,}

となる。太郎さんが、全部計算しろというから、大変なのよ。


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私「良く予習してきたね。もうちょっとで、今日は、許してあげよう。

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{(2a x+b)^2=b^2-4ac,}

だから

{2a x+b=\pm \sqrt{b^2-4ac},}

これから

{\displaystyle x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.}

広田 感心,感心.入学試験に出したら,結果はサンザンだった──という話を聞いた事がある.さすが,現役だけの事はある.


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私「今日は、ここまでに、しよう。頑張ったね」

麻友「って、いうか、学校で習ったのと、式変形が違う」

私「そうだね。学校では最初に、{a} で、両辺を割るだろう。

{\displaystyle x^2+\frac{b}{a} x =-\frac{c}{a}}

そして、左辺を、平方完成する。『平方完成』って言葉、覚えてる?」

{\displaystyle x^2+\frac{b}{a} x +\frac{b^2}{4a^2}=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}}

麻友「完全に飛んでるわ。太郎さんは、どうなの?」

私「辛うじて、使える程度。それで、両辺、変形して、

{\displaystyle \biggl(x+\frac{b}{2a}\biggr)^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{4ac}{4a^2}}

更に、右辺を変形、

{\displaystyle \biggl(x+\frac{b}{2a}\biggr)^2=\frac{b^2-4ac}{(2a)^2}}

両辺の平方根を、考えて、

{\displaystyle x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}

最後に、定数を移して、

{\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}

としたんじゃないかな?」

麻友「それに、近かった。もう今では、完全には覚えてない。とにかく、この本は、まだちょっとしか読んでないけど、こんな違いに拘ってたら、やって行かれないくらい、難しいということが、分かってきたわ」

私「数学を好きになるための本であるだけでなく、数学に強くなるための本だからね」

結弦「2次方程式の解法は、何パターンもあるよ。僕も、いくつか知ってる」

若菜「お父さん、この本を、どのくらいのペースで、読んでいたんですか?」

私「今日、『発見・新たに知った事』のノートを見ていて、


・5次方程式の研究─やっと方針がわかった。2回目半ばなのに─1988.6.10

・5次方程式の研究─ルフィニの証明をほぼ理解─1988.6.25

・5次方程式の研究─2回目終了、いよいよつめにはいる─1988.6.27

と、3カ月くらいで、2回読んでいる。だが、全部の計算はしていない」

結弦「どうして?」

私「この本に書いてあることを、真面目に全部計算しようと思うと、一生かかってしまうという部分があるんだ」

麻友「えっ、そんな話、聞いてなかったわよ。どういうこと?」

私「実際、この本の第8章にある、ブリング/ジラードの標準形というものは、ブリングという人が、半生をかけて計算した式で1786年に発表、ところが、48年後、1834年に、それを知らなかったジラードという人が、苦心の計算で発表。どちらもに敬意を表して、ブリング/ジラードの標準形と、呼ばれるようになった」

結弦「僕たち、そんな討ち死には嫌だな」

若菜「ダ・カ・ラ・! 安倍首相も、ひとつだけ良いことしたって」

結弦「あっ、そうか!」

麻友「10万円の、給付金ね」

結弦「でも、ウルフラムアルファじゃ、駄目だったの?」

麻友「それを、試さない太郎さんじゃないわよ。ねっ」

私「一番易しい形まで持っていって、ウルフラムアルファに、かけたけど、時間内に計算できませんと、突っぱねられた」

若菜「恐ろしい~」

結弦「Mathematica って、ぶっちゃけいくらなの?」

私「45,000円+税だから、今だと、49,500円なんだ」

麻友「2017年は、電子辞書。2018年は、ヒューレットパッカードのパソコン。2019年は、スマホ。そして、今年は、Mathematica なのよね。毎年、どうしても必要なものが、あるのね。やっぱり」

私「私の生活では、5万円を超える買い物は、生活費ではどうにもならない。今回の給付金がなければ、麻友さんにこの本の説明ができなかった」

結弦「この本、そんなに恐ろしい本だったんだ。だから、お父さん、ガイドブックを作らなきゃって、思い立ったんだな」

若菜「『数学ガールガロア理論』では、どうなっているんですか?」

私「歴史的アプローチを取らない場合、ブリング/ジラードの標準形なんて、ガロア理論に、必要ないんだ」

麻友「はーっ、それが、分かってて、ひとりの人が、一生かかって計算したものを、パソコン上ででも、計算したい。数学バカも、突き抜けてるわね」

結弦「僕たちも、気をつけて先に進もう」

若菜「種明かしが終わったところで、今日は、お開きにしては?」

私「分かった。解散」

 現在2020年7月9日22時01分である。おしまい。