数Ⅲ方式ガロアの理論（その３９） - 『数Ⅲ方式ガロアの理論』のガイドブック

　現在２０２１年１１月１０日１７時４４分である。（この投稿は、ほぼ４０５８文字）

麻友「１８時前から始めるなんて、珍しいわね」

私「マックが、改装中で、中に入れないんだよ。仕方なく帰ってきて、今まで、ガロアの過去記事を、チェックしていた」

結弦「お父さんのブログ、見ている人が、確かにいるよ」

若菜「前々回の投稿は、６月１８日で、私が、まりんきょさんの、誤植を指摘しましたよね。その後、お父さんは、投稿を７月２日にしましたけど、そのときは、何もありませんでした。ところが、２０２１年７月２８日に、まりんきょさんが、気付いて、将棋の話のところ、訂正して、『指摘されたＥＲＯＩＣＡ氏に感謝する』って、書いてくれたの」

www.ne.jp

私「どうやって、伝わったか、アクセス解析で気付いたのか、分からないけど、インターネットは、もの凄い情報共有の武器になることが、改めて分かったね」

麻友「前回の復習が含まれている、p.25 下から l.6 （２５ページ下から６行目）から、始めるわよ」

若菜・結弦「はい」

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広田　今までの所をマトメてみよう．

佐々木　 ${3}$ 次方程式

　　　 ${y^3+py+q=0}$

を解くには， ${u,v}$ についての方程式

　　　 ${(u+v)^3+p(u+v)+q=0}$

の一組の根を見つけるといい．

　そのような一組の根は，連立方程式

${\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle u^3+v^3=-q\\ \displaystyle uv=-\frac{p}{3} \end{array} \right.}$

から求まる．

　この連立方程式の根の ${3}$ 乗 ${u^3}$ と ${v^3}$ とは， ${2}$ 次方程式

$t^2+qt-\frac{p^3}{27}=0$

の二根である．

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結弦「付いて行かれない」

私「あと５行、頑張って」

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小川　逆に，この ${2}$ 次方程式の二根となる ${u^3}$ と ${v^3}$ との値で

$uv=-\frac{p}{3}$

となる ${u}$ と ${v}$ との値の和 ${u+v}$ は、 ${3}$ 次方程式

　　　 ${y^3+py+q=0}$

の根となる──ですね．

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　　　　　　　　　　　　　　（『数Ⅲ方式ガロアの理論』２５～２６ページ）

麻友「どのくらい、分かった～？」

結弦「中学３年生に、ここまで、要求するなんて」

若菜「お父さんは、高校２年生で、分かったのですか？」

私「私は、高校１年生で、

・微分積分の初歩

・３次と４次の方程式の解法

・数学的帰納法の理解

・球面に描かれた３角形の面積を求める問題（これは、自力では求められず、３カ月後に幾何学辞典で、解法を知った。さらに、高校２年で、数理の翼セミナーへ行ったら、大学１年生の先輩が、球とは限らない曲面で同じ問題を解き、易しい具体例として、球面の場合を計算して見せてくれ、私の知っていた解と一致したので、大学へ行ったら、凄いことを習うのだなあと、ビックリした。いわゆるガウス・ボンネの定理の応用だったのだ）

などの問題を、１問３カ月というような、ゆったりしたペースで、撃破していた。慌てる必要はなかったんだよ。時間はたっぷりあったから。そこで、ゆっくり３次方程式を解いてあったから、矢ヶ部さんの説明も分かった」

麻友「太郎さんは、それを分かってるから、このブログも、のんびり進めているのかしら？」

私「麻友さんと、おしゃべりしたいとき、その話したい内容により、どのブログにするか、選んでいる」

若菜「３次方程式、お父さんなりに、再構成してもらえませんか？」

私「まず、解かなければならないのは、２次の項がなくなった、

${y^3+py+q=0}$

という方程式だよね。解は、 ${y}$ なわけだけど、フェローか、フォンタナが、 ${y=u+v}$ と置いて、ひとつの ${y}$ を、２つに分解した。この置き換えにより、

${(u+v)^3+p(u+v)+q=0}$

という方程式を解くことになった。展開してみるというのは人情で、

${u^3+3uv(u+v)+v^3+p(u+v)+q=0}$

となり、

${u^3+v^3+3uv(u+v)+p(u+v)+q=0}$

となり、

${u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q=0}$

となる。

　ここまでいいか？」

若菜「分かっています」

私「ここで、フェローか、フォンタナが、とんでもないことを、考えたんだな。 ${u+v}$ は、求める答え ${y}$ 自身なのだが、これが求まっていなくても、成立する式を、見つけようと思ったのだ」

麻友「あっ、つまりこの式で、 ${(3uv+p)(u+v)}$ で、 ${3uv+p=0}$ としちゃったら、 ${0}$ を掛けるんだから、 ${u+v}$ が何でも、 ${(3uv+p)(u+v)=0}$ が、成り立つわね」

結弦「これが、成り立っているとき、方程式、

${u^3+3uv(u+v)+v^3+p(u+v)+q=0}$

は、 ${u+v}$ の付いてる項が ${0}$ になって、

${u^3+v^3+q=0}$

となる」

若菜「そうか、 ${u+v}$ が、何でも構わないように、 ${3uv+p=0}$ としたのと、それが、成り立っているとき、出てくる残りの条件は、 ${u^3+v^3+q=0}$ なんだ。だから、 ${3uv+p=0}$ の ${p}$ を右辺に持って行って、 ${3uv=-p}$ となるけど、ああ、これを、 ${3}$ 乗しちゃうんだ。 ${27 u^3 v^3=-p^3}$ 」

麻友「ここまで来れば、分かるわね。 $u^3 v^3=-\frac{p^3}{27}$ と ${u^3+v^3+q=0}$ から、 ${u^3+v^3=-q}$ があって、連立方程式

${\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle u^3+v^3=-q\\ \displaystyle u^3 v^3=-\frac{p}{27} \end{array} \right.}$

を、解けばいい」

若菜「お母さん、もう分かったのですか？　この場合、連立方程式って、何を求めているんでしょう」

私「良い質問だ。中学校でも習うように、連立方程式というのは、両方成り立たせる数値を求めるものだ。この場合、若菜も自分で言っているように、 ${u+v}$ が、何でも構わないように、 ${3uv+p=0}$ とした。そしてそれが、成り立っているとき、出てくる残りの条件は、 ${u^3+v^3+q=0}$ だったな。だから、この２つの条件を満たす ${u}$ と ${v}$ は、足せば、解きたかった３次方程式の根になるんだよ」

若菜「お父さん。良く頭が、回りますね。私は、付いて行かれません」

私「実は、３次方程式の解法の、この部分は、私も、完璧には分かってなかったんだ。でも、実際に、３次方程式を、このカルダノの解法で、解いたこともあり、疑う必要を、感じていなかった。今回、麻友さん達に、説明するために、最後の３０分くらいまで、説明法を考えた。一番良かったのは、

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若菜「そうか、 ${u+v}$ が、何でも構わないように、 ${3uv+p=0}$ としたのと、それが、成り立っているとき、出てくる残りの条件は、 ${u^3+v^3+q=0}$ なんだ。・・・」

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と、説明できたことだった」

麻友「太郎さんでも、頭を抱えるなんて、この本確かに、難しいわね」

私「難しいことは、確かに、難しい。でも、ガイドブックを、作れば、高校を卒業したくらいの人でも、読めるはずなんだ」

結弦「お父さん、７月から、悩んでたの？」

私「さすがに、それはない。そんなだったら、数学と物理学を、諦めているよ」

若菜「ちょっと、今の部分は、もう少し考えてみます」

麻友「今日の最後の２次方程式と、逆に、の部分が、説明できなかったわね」